vrijdag 27 april 2012

Paul Gordan

http://en.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert

Hilbert's first work on invariant functions led him to the demonstration in 1888 of his famous finiteness theorem. Twenty years earlier, Paul Gordan had demonstrated the theorem of the finiteness of generators for binary forms using a complex computational approach. Attempts to generalize his method to functions with more than two variables failed because of the enormous difficulty of the calculations involved. In order to solve what had become known in some circles as Gordan's Problem, Hilbert realized that it was necessary to take a completely different path. As a result, he demonstrated Hilbert's basis theorem: showing the existence of a finite set of generators, for the invariants of quantics in any number of variables, but in an abstract form. That is, while demonstrating the existence of such a set, it was not a constructive proof — it did not display "an object" — but rather, it was an existence proof and relied on use of the Law of Excluded Middle in an infinite extension.
Hilbert sent his results to the Mathematische Annalen. Gordan, the house expert on the theory of invariants for the Mathematische Annalen, was not able to appreciate the revolutionary nature of Hilbert's theorem and rejected the article, criticizing the exposition because it was insufficiently comprehensive. His comment was:
Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie.
(This is not Mathematics. This is Theology.)
Klein, on the other hand, recognized the importance of the work, and guaranteed that it would be published without any alterations. Encouraged by Klein and by the comments of Gordan, Hilbert in a second article extended his method, providing estimations on the maximum degree of the minimum set of generators, and he sent it once more to the Annalen. After having read the manuscript, Klein wrote to him, saying:
Without doubt this is the most important work on general algebra that the Annalen has ever published.
Later, after the usefulness of Hilbert's method was universally recognized, Gordan himself would say:
I have convinced myself that even theology has its merits.
For all his successes, the nature of his proof stirred up more trouble than Hilbert could have imagined at the time. Although Kronecker had conceded, Hilbert would later respond to others' similar criticisms that "many different constructions are subsumed under one fundamental idea" — in other words (to quote Reid): "Through a proof of existence, Hilbert had been able to obtain a construction"; "the proof" (i.e. the symbols on the page) was "the object". Not all were convinced. While Kronecker would die soon after, his constructivist philosophy would continue with the young Brouwer and his developing intuitionist "school", much to Hilbert's torment in his later years. Indeed Hilbert would lose his "gifted pupil" Weyl to intuitionism — "Hilbert was disturbed by his former student's fascination with the ideas of Brouwer, which aroused in Hilbert the memory of Kronecker".  Brouwer the intuitionist in particular opposed the use of the Law of Excluded Middle over infinite sets (as Hilbert had used it). Hilbert would respond:
Taking the Principle of the Excluded Middle from the mathematician ... is the same as ... prohibiting the boxer the use of his fists.

Wiskunde is de filosofie van de massa.
Dat is een bekend citaat, maar de naam van de auteur ontglipt me even.
Wiskunde is de theologie van de massa.
David Hilbert en Albert Einstein waren die mening toegedaan en handelden er naar.

http://nl.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor
Het concept van het bestaan van een werkelijke oneindigheid was een belangrijke gezamenlijk vraagstuk in zowel de wiskunde, de filosofie en de religie. Behoud van de orthodoxie in de relatie tussen God en wiskunde, hoewel niet in dezelfde vorm als zijn critici deze relatie zagen, hield Cantor lange tijd erg bezig. Hij sprak zich over de relaties op dit kruispunt van deze disciplines direct uit in zijn inleiding tot zijn Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, waar hij het verband benadrukt tussen zijn visie op de oneindige en de filosofische visie. Voor Cantor waren zijn wiskundige opvattingen onlosmakelijk verbonden met hun filosofische en theologische implicaties. Hij identificeerde het absoluut oneindige met God, en hij beschouwde zijn werk over transfiniete getallen als direct aan hem gecommuniceerd door God zelf, die hem had uitverkoren om deze inzichten aan de wereld te onthullen.
Uit deze tegengestelde standpunten in de filosofie van de wiskunde groeide een debat onder wiskundigen over de aard van het werkelijk oneindige. Sommigen stonden op het standpunt dat oneindigheid een abstractie was wiskundig niet legitiem was en zij ontkenden het werkelijk bestaan van oneindigheid. Wiskundigen uit de drie grote scholen van denken (constructivisme en zijn twee spruiten, het intuïtionisme en het finitisme) verzetten zich in deze kwestie tegen Cantors theorieën.
Voor constructivisten zoals Leopold Kronecker vloeit deze verwerping van het bestaan van een werkelijke oneindigheid logisch voort uit zijn fundamentele verwerping van het idee dat niet-constructieve bewijzen, zoals Cantor zijn diagonaalbewijs, voldoende bewijs zijn dat er iets bestaat, in plaats daarvan stellen de constructivisten dat constructieve bewijzen vereist zijn.
Ook het intuïtionisme verwierp het idee dat werkelijke oneindigheid een uiting is van enige vorm van realiteit, maar aanhangers van deze stroming komen tot deze beslissing via een andere route dan aanhangers van het constructivisme. Ten eerste berust Cantors argument op de logica om het bestaan van transfiniete getallen als een werkelijke wiskundige entiteit te bewijzen. De intuïtionisten vinden dan wiskundige entiteiten niet kunnen worden gereduceerd tot logische proposities, maar in plaats daarvan hun oorsprong vinden in de intuïties van de geest.[Ten tweede wijzen de intuïtionisten de notie van oneindigheid als een uitdrukking van de werkelijkheid als zodanig af, aangezien de menselijke geest volgens hen niet in staat zou zijn om op intuïtieve wijze een oneindige verzameling te construeren. Wiskundigen zoals Brouwer en vooral Poincaré namen een intuitionistisch standpunt in tegen Cantor zijn werk. Verwijzend naar de paradoxen van de verzamelingenleer als een voorbeeld van haar fundamenteel ontoereikend karakter, vond Poincaré dat "de meeste van de ideeën van de Cantoriaanse verzamelingenleer voor eens en altijd uit de wiskunde moeten worden uitgebannen."
Tenslotte waren er de finitistische aanvallen van Wittgenstein; deze Oostenrijkse filosoof geloofde dat Cantors diagonaalargument de intentie van een verzameling van kardinale- of reële getallen teveel vermengde met haar extensie, waardoor ook het concept van regels voor het genereren van een verzameling teveel vermengd werden met een werkelijke verzameling.

Constructivisten, intuïtisten, finitisten... ik begrijp er allemaal niets van.
Ik begrijp er allemaal niets van omdat dit het gemeenschappelijke uitgangspunt is:
"Uit deze tegengestelde standpunten in de filosofie van de wiskunde groeide een debat onder wiskundigen over de aard van het werkelijk oneindige."
Het bestaan van een werkelijke oneindigheid is de filosofie van de massa, de theologie van de massa.
David Hilbert en Albert Einstein beseften dat.

"No one will drive us from the paradise which Cantor created for us".
David Hilbert.

Ze beseften dat en ze handelden er naar.
Ze probeerden als tegengewicht het "relatieve" te bewijzen.
Om de één of andere reden lukt mij dat niet.

Geen opmerkingen:

Een reactie posten